دانلود مقاله مکانیک شکست

-۳-۶- J بعنوان يك ضريب شدت تنش
دانلود مقاله مکانیک شکست در قالب ورد با بهترین کیفیت هاتچينسن، رايس و روزنگرن (HRR) بطور جداگانه نشان دادند كه J مي تواند مشخص كنند وضعيت نوك ترك براي يك ماده الاستيك غيرخطي باشد. هر يك از آنها رابطه بين كرنش پلاستيك و تنش را به صورت قانون نمايي فرض كردند. اگر كرنش الاستيك هم اضافه شود، براي تغيير شكل تكل محوري، روابط زير بدست خواهد آمد:
(۲۲-۶)
كه در آن يك تنش مبنا و معمولا مقاومت تسليم فرض مي شود، و يك ثابت بدون بعد و n توان كرنش سختي است. معادله (۲۲-۶) به معادله رامبرگ- اسگود معروف است و كاربرد گسترده اي براي انطباق بر منحني هاي تنش- كرنش دارد.براي اين كه حالت استقلال از مسير حفظ شود، تنش و كرنش بايستي به نسبت در محدوده نزديك نوك ترك تغيير كند. در فواصل خيلي نزديك به نوك ترك كه منطقه كاملا پلاستيك شده، كرنش هاي الاستيك در مقايسه با كرنش كلي كوچك بوده و رابطه تنش- كرنش به قانون ساده نمايي خلاصه مي شود. شرايط دوگانه فوق منجر به تغييرات تنش و كرنش در محدوده جلو نوك ترك به صورت زير خواهند شد:
(a 23-6)
(b23-6)
كه در آن k2 , k1 ثابت هاي تناسب بوده و بطور دقيق تعريف مي شوند. براي يك ماده الاستيك خطي n=1 بوده و معادله (۲۲-۶) حالت تكينه را پيش بيني مي كند كه با تئوري LEFM نيز سازگار است.
توزيع واقعي تنش و كرنش با اعمال شرايط مرزي مناسب به دست مي آيد:(a24-6)
(b24-6)
كه در آن In يك ثابت انتگرال وابسته به n و توابع بدون بعد از هستند. اين عوامل به حالت تنش نيز بستگي دارند (يعني حالت تنش صفحه اي و يا كرنش صفحه اي).
معادلات (a24-6) و (b24-6) به حالت تكينه HRR معروف هستند كه پس از هاتچينسن، رايس و روزنگرن به اين عنوان ناميده شدند. شكل (۱۰-۶) تغييرات In در مقابل n را براي حالتهاي تنش صفحه اي و كرنش صفحه اي نشان مي دهد. شكلهاي (۱۱-۶) تغييرات زاويه اي را نشان مي دهد. مولفه هاي تنش در شكل (۱۱-۶) به جاي مختصات y , x در مختصات قطبي تعريف شده اند.

انتگرال J مشخص كننده دامنه حالت ايستايي HRR است. به همان ترتيب كه ضريب شدت تنش، دامنه حالت استثنايي الاستيك خطي را معين مي كند. به اين ترتيب J كاملا شرايط داخل منطقه پلاستيك را مشخص مي كند. يك سازه در حالت محدوده كوچك تسليم داراي دو منطقه استثنايي است: يكي در محدوده الاستيك كه در آن تنش متناسب با تغيير مي كند و ديگري در منطقه پلاستيك كه در آن تغييرات تنش با متناسب است.

۴-۳-۶- منطقه كرنش بزرگ
حالت استثنايي LEFM , HRR از ضعف مشتركي در تعيين حالت تنش در نوك ترك برخوردار هستند، يعني وقتي هر دو تنش بي نهايت را پيش بيني مي‌كنند. كرنش هاي بزرگ در نوك ترك منجر به منحني شدن آن شده و حالت سه محوري تنش را كاهش مي دهند. تحليلي كه منجر به حالت استثنايي HRR مي گردد تأثير منحني شدن نوك ترك در ميدان تنش را در نظر نمي گيرد، همچنين تحليل فوق دربرگيرنده كرنش هاي بزرگ موجود در نوك ترك نيست. اين تحليل بر مبناي تئوري كرنش كوچك صورت گرفته كه معادل حالت چند محوري كرنش مهندسي دريك آزمايش كشش است. هنگامي كه كرنش ها بزرگتر از تقريبا ۱/۰ (۱۰%) هستند، تئوري كرنش كوچك از اعتبار برخوردار نيست.
مك ميكينگ و پاركس تحليل نوك ترك را با استفاده از المانهاي محدود با در نظر گرفتن تئوري كرنش بزرگ و تغييرات هندسي محدود انجام دادند. برخي از نتايج آنها در شكل (۱۲-۶) نشان داده شده كه در آن تنش عمود بر صفحه ترك در مقابل فاصله از نوك ترك رسم شده است. در اين شكل حالت تكينه HRR (معادله a 24-6) نيز نشان داده شده است. توجه گردد كه هر دو محور مختصات بدون بعد هستند و تا زماني كه منطقه پلاستيك كوچك است شكل منحني ها ثابت خواهد ماند.
در شكل (۱۲-۶) هنگامي كه معادل يك است، منحني خط پر به مقدار ماكزيمم خود رسيده و با كاهش مي يابد. اين فاصله تقريبا منطبق با دو برابر CTOD است.
منحني شدن نوك ترك باعث مي‎شود كه در اطراف نوك ترك وضعيت تنش با حالت HRR تفاوت پيدا كند. حالت تكينه HRR در اين محدوده كه در آن تنش ها از كرنش هاي بزرگ و منحني شدن نوك ترك متاثر مي شوند، غيرمعتبر خواهد بود.
عدم اعتبار تحليل HRR در محدوده نوك ترك منجر به مطرح شدن اين سوال گرديده است كه: آيا انتگرال J مي‎تواند بعنوان يك معيار شكست مفيد براي مواقعي كه نوك ترك منحني مي‎شود بكار رود؟ پاسخ آن را مي‎توان به اين صورت بيان كرد، مادامي كه محدوده محاصره شده در اطراف نوك ترك را بتوان با معادله (۲۴-۶) تعريف كرد، انتگرال J به تنهايي مشخص كننده شرايط نوك ترك بوده و مقدار بحراني J مستقل از ابعاد، چقرمگي شكست را اندازه مي‎گيرد.
۵-۳-۶- اندازه گيري J با آزمايش:
هنگامي كه رفتار ماده اي الاستيك خطي باشد، اندازه گيري J در يك نمونه نسبتاً ساده است زيرا J=G و G نيز با ضريب شدت تنش رابطه دارد. اين مقدار با مشخص شدن بار و اندازه ترك بر مبناي حل K براي شرايط هندسي معلوم قابل محاسبه است. محاسبه انتگرال J براي مواد با رفتار غيرخطي بسيار مشكل است.
اصل جمع بندي جداگانه آثار قابل استفاده نبوده و متناسب با بار اعمال شده نيست. بناراين يك رابطه ساده بين J ، بار و طول ترك قابل دسترس نخواهد بود. روش معمول براي تعيين J بر مبناي كاربرد انتگرال مداري (معادله ۱۹-۶) براي شرايط هندسي مشخص انجام مي پذيرد. رد [۸] مقدار انتگرال J را براي يك سري نمونه با نصب چند اندازه گير در مدار پيرامون نوك ترك بدست آورد. از آنجا كه J مستقل از مسير بوده و انتخاب مسير اختياري است، او مداري را انتخاب كرد كه محاسبه را تا حد امكان آسانتر سازد. اين روش براي تحليل با المانهاي محدود نيز قابل استفاده است، به اين ترتيب كه تنش ها، كرنش ها و تغيير مكانها در مدار مشخصي از اطراف نوك تير تعيين شده و J مطابق معادله (۱۹-۶) قابل محاسبه خواهد بود. روش مداري در تعيين J در بسياري از مواقع غيرعملي مي‎باشد. نصب تجهيزات اندازه گيري در اطراف ترك پرزحمت بوده و روش مداري در برخي محاسبات عددي مورد توجه نيست.
لندس و بگلي [۹ و ۱۰] از نخستين كساني بودند كه با استفاده از تعريف نرخ رهايي انرژي از (معادله ۱۱-۶) موفق به اندازه گيري آزمايشگاهي J شدند. شكل (۱۳-۶) تصوير كلي از روش آنها را نشان مي‎دهد. آنها نمونه هاي متعدد آزمايشي با ابعاد هندسي و مواد يكسان ولي تركهايي با طولهاي متفاوت را ساختند. هريك از نمونه ها را تحت بار قررا داده و نمودار بار تغيير مكان آنها را بدست آوردند (شكل a13-6). مساحت زير منحني هر يك برابر U ، يعني انرژي جذب شده توسط هر نمونه مي‎باشد. سپس تغييرات در مقابل طول ترك در حالت تغيير مكان ثابت را رسم كردند (شكل b13-6). براي يك نمونه با ترك لبه اي با ضخامت B ، انتگرال J بصورت زير خواهد بود:
(۲۵-۶)
به اين ترتيب J را مي‎توان با به دست آوردن شيب مماس بر منحني هاي شكل (b13-6) بدست آورد. بكار گرفتن معادله (۲۵-۶) منجر به نتيجه شكل (c13-6) مي گردد كه در آن تغييرات J در مقابل تغيير مكان در طولهاي مختلف ترك رسم شده است.
۴-۶- رابطه بين J و CTOD
براي يك ماده با رفتار الاستيك خطي، رابطه بين CTOD و G در معادله (۸-۶) داده شده است. چون J=G براي حالت الاستيك خطي برقرار است، معادلات فوق را مي‎توان براي برقراري رابطه با فرض منطقه محدود پلاستيك در نوك ترك بكار برد. به اين ترتيب:
(۲۶-۶)
كه در آن m يك ثابت بدون بعد بوده و به حالت تنش و خواص ماده بستگي دارد. مي‎توان نشان داد كه معادله (۲۶-۶) براي مواد با رفتار غيرخطي نيز معتبر مي‎باشد. نوار تسليم شده اي را در منطقه جلو نوك ترك مطابق شكل (۱۴-۶) در نظر بگيريد. مدار را در امتداد مرز اين منطقه تعريف مي كنيم. اگر منطقه آسيب ديده در اطراف ترك باندازه كافي بلند و باريك باشد، يعني اگر ، اولين ترم انتگرال از بين رفته زيرا dy=0 مي‌گردد.
از آنجا كه تنش سطحي در امتداد و در جهت y مي باشد، nx=nz=0 , ny=1 خواهد شد.
بنابراين انتگرال بصورت زير مي گردد:
(۲۷-۶)
مختصات جديدي در مبدأ يعني نوك ترك نوار تسليم شده تعريف مي گردد بطوري كه .
اگر ثابت باشد، تنها به X بستگي خواهند داشت در صورتي كه در مقايسه با ابعاد جسم داراي ترك مقدار كوچكي داشته باشد. به اين ترتيب انتگرال J عبارتست از:
(۲۸-۶)

كه در آن است. از آنجا كه در مدل نوار تسليم شده فرض در منطقه پلاستيك منظور شده است، رابطه J-CTOD بصورت زير خواهد شد:
(۲۹-۶)
به تشابه معادلات (۲۹-۶) و (۷-۶) توجه كنيد. معادله (۷-۶) از مدل نوار تسليم شده با حذف ترمهاي بزرگتر بسط سري معادله (۶-۶) بدست آمده، در صورتي كه چنين فرضي در معادله (۲۹-۶) در نظر گرفته نشده است. بنابراين مدل نوار تسليم شده كه با فرض تنش صفحه اي و ماده كار سخت نشده بدست آمده است پيش بيني مي‌كند كه براي مواد با رفتار الاستيك خطي و همچنين الاستيك- پلاستيك m=1 مي‎باشد.
۱-۷- مقدمه:
بررسي رشد ترك تحت بارهاي خستگي از مباحث اساسي در مكانيك شكست اجسام به شمار مي‎آيد. پيش بيني عمر مواد تحت اثر خستگي امري بسيار دشوار بوده و عليرغم تحقيقات وسيع در اين زمينه، هنوز با اطمينان نمي توان عمر دقيق شكست اجسام را در اثر خستگي پيش بيني نمود. در اين بخش روش مكانيك شكست در مسائل خستگي و روابط بين رشد ترك و ضريب شدت تنش مورد بررسي قرار مي‎گيرد.
۲-۷- رشد ترك و ضريب شدت تنش
تنش هاي متناوب با دامنه ثابت را مي‎توان با سه عامل نشان داد: تنش متوسط ، دامنة تنش و فركانس ، فركانس براي نشان دادن مقدار تنش لازم نيست. بنابراين تنها دو عامل براي مشخص كردن تنش با دامنه ثابت كافي مي‎باشد. مي‎توان از پارامترهاي ديگري نيز نظير تنش مينيمم كه مستقيماً مقادير تنش را نشان مي دهند و نيز استفاده كرد.
عمر رشد ترك، N به صورت مقدار سيكل لازم براي رشد يك ترك تحت خستگي به طول مشخصي تعريف مي‎شود. مكانيزم رشد ترك در شكل (۱-۷) نشان داده شده است. رشد ترك در اثر تغيير شرايط هندسي آن در اثر مكانيزم لغزش و انحنادار شدن نوك ترك است.
رشد ترك در اثر تغيير شرايط هندسي آن در اثر مكانيزم لغزش و انحنا شدن نوك ترك است. در حالت الاستيك، ضريب شدت تنش براي تعيين ميدان تنش در اطراف ترك كافي مي‎باشد. وقتي اندازه منطقه پلاستيك در نوك ترك در مقايسه با طول ترك كوچك باشد، ضريب شدت تنش مشخصه مناسبي براي وضعيت تنش در نوك ترك است. وقتي دو ترك مختلف داراي مقدار يكسان ضريب شدت تنش باشند نشاندهنده آنست كه ترك در هر دو با نرخ يكساني رشد خواهد كرد. تنش هاي محلي در نوك ترك را مي‎توان با استفاده از ضريب شدت تنش، با درنظر گرفتن تعريف كرد كه در آن يك عدد ثابت است. اگر تنش نرمال اعمال شده باشد، در يك سيكل مقدار آن از به در محدوده تغيير مي‌كند.
بنابراين تنش هاي محلي در نوك ترك به صورت زير تغيير مي‌كند:

(۱-۷)

نرخ گسترش ترك در اثر خستگي بر سيكل، ، با تغييرات ضريب شدت تنش بيان مي‎شود:
(۲-۷)
معادله (۲-۷) را مي‎توان به صورت يك تابع نمايي زير تعريف كرد:
(۳-۷)
كه در آن mp , Cp ثابت مواد مي باشند. معادله (۳-۷) به معادله پاريس معروف است. مقادير mp , Cp را مي‎توان به آساني بدست آورد. بعنوان مثال ورقي با ترك مركزي را مطابق شكل (a2-7) در نظر بگيريد كه تحت بار كششي متوالي قرار گرفته است. ماداميكه طول ترك در مقايسه با ابعاد نمونه كوچك باشد (يعني ) ضريب هندسي را مي‎توان تقريبا معادل يك در نظر گرفت. بنابراين خواهد شد. رشد ترك در فواصل هر ۲۰۰۰۰۰ سيكل اندازه گيري مي‎شود. نتايج در شكل (b2-7) نشان داده شده است.
براي رشد ترك باندازة ، مقدار سيكل لازم است بطوري كه نرخ رشد ترك مي‎باشد. هدف بدست آوردن نرخ رشد ترك بصورت تابعي از ، يعني دامنة تغييرات شدت تنش مي‎باشد. اندازه متوسط ترك در برابر است. دامنه تنش، ، و بنابراين نتيجه مي‎شود: بدين ترتيب يك مقدار مي‎تواند رشد تركي با نرخ را ايجاد كند. اين نتيجه در شكل (c2-7) بصورت نمودار و ترسيم شده است. مرحله فوق براي نقاط ديگري نيز در شكل (c2-7) تكرار شده است. براي تركي با طول بزرگتر a2 ميزان رشد ترك و تعداد سيكل لازم مي‎باشد. چون در نتيجه و در واقع بزرگتر ايجاد نرخ رشد ترك بيشتري مي نمايد.
شكل (c2-7) را مي‎توان براي تحليل رشد ترك در سازه اي كه از ماده فوق تشكيل شده باشد بكار برد. در واقع اگر دو ترك مختلف در ماده اي يكسان داراي ضريب شدت تنش معادل باشد،‌ شرايط تنش در نوك هر دو ترك يكسان خواهد بود. يعني اگر يكسان باشد، نرخ رشد ترك نيز مانند هم مي‎باشد.
۳-۷- رشد ترك با دامنه ثابت در يك سازه
در اكثر سازه ها معمولاً بار با دامنه متغير وارد مي‎شود كه در اين صورت تحليل رشد ترك پيچيده مي‎شود. با وجود اين، در برخي موارد مي‎توان با فرض اعمال بار با دامنه ثابت، بدون استفاده از كامپيوتر تحليل ساده اي را انجام داد. رشد ترك در يك سازه را مي‎توان با استفاده از نمودار نرخ رشد ترك تحليل نمود. منحني رشد ترك در يك سازه از نرخ انتگرال زير پيروي مي‌كند:
(۳-۷) و يا
پس از انتگرال گيري نتيجه مي‎شود:
(۴-۷)
بدليل پيچيدگي توابع و تاريخچه اعمال تنش، معمولاً انتگرال گيري فوق بصورت عددي انجام مي‎گيرد. تابع f ممكن است بصورت رابطه ساده پاريس باشد. به اين ترتيب نتيجه خواهد شد:
(۵-۷)
در يك سازه معمولاً بصورت تابعي از بوده و عليرغم ساده بودن f و ثابت بودن (مستقل از a)، انتگرال گيري بايستي به صورت عددي صورت پذيرد. براي انتگرال گيري معمولاً مي‎توان از يك كامپيوتر استفاده نمود. ولي در صورت ثابت بودن دامنه بارگذاري، مي‎توان از محاسبات دستي نيز كمك گرفت. اصول انجام يك انتگرال گيري ساده عددي در صورت بارگذاري با دامنه ثابت بشرح زير است:
براي اين كار مي‎توان انتگرال گيري را در پله هاي كوچك با خطاي ناچيز انجام داد، اندازه هر پله را مي‎توان بعنوان مثال بصورت افزايش ترك باندازه يك صدم طول ترك فرض كرد. فرض كنيد باري با دامنه ثابت به يك نمونه آزمايشي وارد مي‎شود (شكل ۳-۷) و معادله پاريس بصورت قابل استفاده باشد. را براي اين نمونه بصورت فرض كرده و ۴ = W در نظر مي گيريم.